Metodología de Árbol Expansivo de CME | Observatorio de Bancos Centrales

¿Qué es el Método de Árbol Expansivo?

La herramienta CME FedWatch usa una estructura de "árbol expansivo" para calcular las probabilidades de decisiones de tasas de la Reserva Federal. Se llama "expansivo" porque construye una estructura ramificada que crece con cada reunión sucesiva del FOMC, trazando todas las secuencias posibles de cambios de tasas.

¿Por qué "Árbol Expansivo"?

Cada reunión del FOMC presenta dos resultados principales: o bien la Fed cambia las tasas en 25 puntos básicos (al alza o a la baja), o bien las tasas permanecen sin cambios. Después de una reunión, hay dos niveles de tasa posibles. Después de dos reuniones, hay tres niveles de tasa posibles (pero cuatro rutas distintas para llegar a ellos). Después de tres reuniones, hay cuatro niveles de tasa posibles, alcanzados por ocho rutas diferentes.

Este crecimiento combinatorio, donde cada reunión duplica el número de rutas, crea la estructura de "árbol". La metodología de CME asigna probabilidades a cada rama con base en los precios de futuros de fondos federales y luego sigue todas las rutas posibles hacia adelante para calcular la probabilidad de diferentes resultados de tasas varias reuniones después.

El método de CME calcula la probabilidad de cada ruta a través de este árbol usando precios de futuros. Se considera el "estándar de oro" porque es transparente, sistemático y se usa en todo el mundo.

Qué aprenderás en esta página

Los 7 supuestos clave que usa CME
Paso a paso: cómo calcular probabilidades
Un ejemplo real de septiembre de 2022
Cómo se expande el árbol en múltiples reuniones
Dónde funciona bien el método y dónde tiene limitaciones

La herramienta CME FedWatch emplea un árbol expansivo de probabilidad binaria para extraer probabilidades implícitas de mercado de decisiones de tasas del FOMC a partir de precios de futuros de fondos federales a 30 días. Esta metodología representa el enfoque basado en derivados más referenciado para extraer expectativas de política monetaria.

Innovación central: El marco de árbol expansivo resuelve elegantemente el desafío de convertir información continua de precios de futuros en distribuciones de probabilidad discretas sobre múltiples decisiones de política secuenciales. Al imponer estructura (ramificación binaria en cada nodo) y mantener flexibilidad (adaptación al precio de mercado), la metodología equilibra tractabilidad y sensibilidad al mercado.

Fundamento teórico: El enfoque se apoya en el teorema fundamental de valoración de activos, que establece la existencia de una medida de probabilidad neutral al riesgo bajo la cual los precios de futuros son iguales a tasas spot esperadas. Para futuros de fondos federales con tasas de corto plazo deterministas durante el período del contrato, esto se simplifica a:

$$\text{Futures Price}_t = 100 - E^{\mathbb{Q}}_t[\text{Average EFFR during contract month}]$$ donde $\mathbb{Q}$ denota la medida neutral al riesgo

Estructura de la página

Esta página ofrece documentación técnica integral de la metodología de árbol expansivo de CME:

Los siete supuestos fundacionales - Simplificaciones críticas que permiten un cálculo tratable
Marco matemático - Derivación formal del procedimiento de extracción de probabilidades
Protocolo de cálculo - Implementación algorítmica paso a paso
Ejemplo resuelto - Recorrido completo de las probabilidades del FOMC de septiembre de 2022
Lógica de expansión del árbol - Reglas de propagación para múltiples reuniones futuras
Limitaciones metodológicas - Modos de falla conocidos y casos límite

Los siete supuestos fundacionales

Para que el método de CME funcione, necesita hacer algunos supuestos simplificadores. No siempre son perfectamente ciertos, pero la mayoría del tiempo son lo suficientemente cercanos para producir buenas predicciones.

Supuesto 1: cambios discretos de 25 puntos básicos

Qué significa: La Fed mueve las tasas en incrementos de un cuarto de punto (0.25%)

Verificación en la práctica: ¡Usualmente cierto! A la Fed le gustan los movimientos de 25 pb. Pero en emergencias (como en 2022), a veces hace movimientos de 50 pb o 75 pb.

Supuesto 2: respuesta proporcional de la EFFR

Qué significa: Cuando la Fed sube su objetivo en 25 pb, la tasa efectiva de fondos federales (lo que realmente se negocia en el mercado) también sube en 25 pb

Verificación en la práctica: Muy cercano a la realidad bajo el sistema actual de reservas abundantes

Supuesto 3: límite inferior cero

Qué significa: Las tasas de interés no pueden bajar de cero

Verificación en la práctica: Cierto para EE. UU. (Algunos otros países como el BCE han tenido tasas negativas, pero esa es otra historia).

Supuesto 4: resultados binarios en cada reunión

Qué significa: En cada reunión de la Fed, solo pueden pasar dos cosas: o lo que el mercado espera, o un paso distinto (arriba o abajo 25 pb)

Verificación en la práctica: Esto es una simplificación. A veces el mercado realmente está indeciso entre tres resultados.

Supuesto 5: cambios solo en reuniones programadas

Qué significa: La Fed solo cambia tasas en sus 8 reuniones programadas por año, nunca entre reuniones

Verificación en la práctica: Generalmente cierto. Los movimientos de emergencia entre reuniones son raros (el último fue en marzo de 2020 durante COVID)

Supuesto 6: condición de continuidad

Qué significa: La tasa al final de un mes es igual a la tasa al inicio del mes siguiente

Verificación en la práctica: ¡Cierto! Las tasas no saltan de la noche a la mañana entre meses.

Supuesto 7: valoración neutral al riesgo

Qué significa: Los precios de futuros reflejan lo que los traders esperan que pase, no lo que temen o desean

Verificación en la práctica: No del todo. La investigación muestra que los precios de futuros incluyen una "prima por riesgo": los traders pagan un poco extra por cobertura. Lo discutiremos más adelante.

La metodología de árbol expansivo de CME se apoya en siete supuestos fundamentales que restringen el problema de extracción de probabilidades a una forma tratable. Comprender estos supuestos es crítico para evaluar cuándo la metodología ofrece una guía confiable y cuándo se vuelven necesarios enfoques alternativos.

Supuesto 1: cambios discretos de tasa en incrementos de 25 pb

$$\Delta \text{EFFR} \in \{..., -50, -25, 0, +25, +50, ...\} \text{ puntos básicos}$$

Justificación: Desde mediados de los años noventa, la Reserva Federal ha mostrado una fuerte preferencia por movimientos de un cuarto de punto, reflejando un deseo de gradualismo y previsibilidad en la implementación de política.

Violaciones: El supuesto se rompe en períodos de crisis cuando la Fed ejecuta movimientos mayores (cambios de 50 pb o 75 pb ocurrieron en 2001-2002, 2008 y 2022-2023). La metodología se adapta calculando probabilidades para incrementos mayores, pero la estructura de árbol binario no puede representar distribuciones genuinamente trimodales en las que exista masa de probabilidad significativa en tres resultados distintos.

Supuesto 2: respuesta proporcional de la EFFR

$$\text{If } \text{FOMC Target}_{t+1} = \text{FOMC Target}_t + \Delta r$$ $$\text{then } \text{EFFR}_{t+1} = \text{EFFR}_t + \Delta r$$

Justificación: Bajo el marco actual de reservas abundantes con el interés sobre saldos de reserva (IORB) como herramienta principal, la EFFR sigue al IORB (el punto medio del rango objetivo del FOMC) con diferencial mínimo, típicamente de 1 a 5 puntos básicos.

Contexto histórico: Este supuesto depende del régimen. Funciona bien bajo reservas abundantes (2020-presente), pero no habría funcionado bajo el sistema de corredor previo a 2008 ni durante el régimen de reservas escasas de 2017-2019.

Supuesto 3: límite inferior cero (ZLB)

$$\text{EFFR}_t \geq 0 \quad \forall t$$

Justificación: En el contexto institucional de EE. UU., las tasas nominales negativas enfrentan obstáculos legales y operativos. La Reserva Federal ha declarado consistentemente que las tasas negativas no se consideran una herramienta de política viable.

Nota internacional: Este supuesto no se cumple universalmente: el BCE, el Banco de Japón, el Banco Nacional Suizo y otros han implementado tasas de política negativas. Las aplicaciones de metodologías tipo CME en estas jurisdicciones requieren modificación.

Supuesto 4: estructura de ramificación binaria

$$\text{En cada reunión del FOMC: } |\{\text{resultados posibles}\}| = 2$$

Justificación: La estructura binaria simplifica drásticamente el cómputo. En cada nodo, el mercado puede asignar probabilidad $p$ a un resultado y $(1-p)$ a otro, extraíble de la parte fraccionaria del cambio esperado de tasa.

Limitaciones: Esta es la simplificación excesiva más importante de la metodología. En períodos de incertidumbre genuina (por ejemplo, inicios de 2023 cuando los mercados debatían entre mantener/subir/bajar), restringir a dos resultados distorsiona la distribución de probabilidad. La herramienta no puede representar de forma nativa escenarios donde $P(\text{resultado } A) = 0.4$, $P(\text{resultado } B) = 0.35$ y $P(\text{resultado } C) = 0.25$.

Supuesto 5: sin movimientos entre reuniones

$$\Delta \text{FOMC Target}_t = 0 \quad \text{si } t \notin \{\text{fechas FOMC programadas}\}$$

Justificación: Los movimientos entre reuniones son históricamente raros y ocurren solo en circunstancias extremas (11-S, crisis financiera de 2008, crisis COVID de marzo de 2020). Su rareza justifica excluirlos de los cálculos base de probabilidad.

Modo de falla: Durante crisis agudas en las que se vuelve posible una acción entre reuniones, los mercados de futuros pueden descontar probabilidades que la metodología no puede descomponer correctamente, generando estimaciones inconsistentes.

Supuesto 6: continuidad entre límites mensuales

$$\text{EFFR(End)}_t = \text{EFFR(Start)}_{t+1}$$

Justificación: Las tasas no saltan de forma discontinua en las transiciones de mes. Esta condición de continuidad permite a la metodología propagar información de tasas hacia adelante y hacia atrás a través de meses "ancla" sin FOMC.

Rol técnico: Este supuesto es crítico para las reglas de propagación del algoritmo y aporta las ecuaciones de restricción necesarias para resolver las tasas de inicio y fin dentro de meses con reunión FOMC.

Supuesto 7: medida de probabilidad neutral al riesgo

$$\text{Futures Price}_t = E^{\mathbb{Q}}_t[\text{Spot Rate}_{t+h}]$$ $$\text{donde las probabilidades están bajo la medida neutral al riesgo } \mathbb{Q}$$

Justificación: La teoría estándar de valoración de derivados establece que los precios de futuros reflejan expectativas neutrales al riesgo. Este supuesto permite extraer probabilidades directamente desde niveles de precio.

Advertencia crítica: Una literatura empírica amplia (Piazzesi & Swanson 2008; Hamilton & Okimoto 2011) documenta que los futuros de fondos federales contienen primas por riesgo positivas significativas, en promedio de 35 a 61 puntos básicos por año, contracíclicas y predecibles. La metodología extrae probabilidades neutrales al riesgo, no probabilidades físicas. Para pronóstico de política (en lugar de medir percepciones de mercado), el ajuste por prima por riesgo es esencial.

Implicaciones metodológicas

Estos siete supuestos definen colectivamente el dominio de aplicabilidad de la metodología de CME:

Desempeño óptimo: Entornos de política normales con reuniones programadas, movimientos de cuarto de punto y baja incertidumbre (condiciones tipo Gran Moderación)
Desempeño degradado: Períodos de crisis, transiciones de régimen de política o situaciones con probabilidades realmente distribuidas entre múltiples resultados
Modos de falla: Movimientos de emergencia entre reuniones, entornos de tasas negativas (sin modificación), o movimientos grandes (75 pb+) no anticipados en la estructura binaria

El marco de cálculo

Ahora veamos exactamente cómo el método de CME calcula probabilidades. Lo dividiremos en pasos simples.

Panorama general: ¿qué queremos encontrar?

Queremos saber: ¿Cuál es la probabilidad de que la Fed suba, baje o mantenga las tasas en su próxima reunión?

Para averiguarlo, usamos:

La tasa actual de la Fed
Precios de futuros para los meses con reuniones de la Fed
Las fechas de reuniones de la Fed
¡Un poco de matemáticas para unir todo!

Idea clave: meses ancla

¿Qué es un "mes ancla"?

Un mes ancla es un mes SIN reunión de la Fed. Son muy útiles porque son simples: la tasa no cambia durante todo el mes. El precio del futuro nos dice directamente cuál será la tasa.

Ejemplo: Si octubre no tiene reunión de la Fed y el precio del futuro de octubre es 96.94, entonces sabemos que la tasa promedio de octubre será 100 - 96.94 = 3.06%.

Los siete pasos

Paso 1: identificar meses ancla

Mira el calendario de reuniones de la Fed. Encuentra los meses sin reuniones. Esos nos dan puntos fijos.

Ejemplo: Si la Fed se reúne en septiembre, noviembre y diciembre, entonces octubre es un mes ancla.

Paso 2: calcular tasas iniciales

Para los meses con reuniones de la Fed, determina cuál es la tasa al inicio del mes (antes de la reunión).

Usamos el mes ancla para ayudarnos. Como la tasa al final de septiembre es igual a la tasa al inicio de octubre (ese es el supuesto de continuidad), podemos trabajar hacia atrás.

Paso 3: calcular tasas finales

El precio del futuro nos da la tasa promedio de todo el mes. Como conocemos la tasa inicial y cuántos días hay antes vs. después de la reunión, podemos calcular cuál debe ser la tasa final.

Fórmula: Tasa final = (Tasa promedio × días del mes - Tasa inicial × días antes de la reunión) ÷ días después de la reunión

Paso 4: calcular el cambio esperado

Resta simple: Cambio esperado = Tasa final - Tasa inicial

Esto nos dice cuánto espera el mercado que la Fed mueva las tasas.

Paso 5: convertir a unidades de 25 pb

Divide el cambio esperado entre 0.25 (porque la Fed se mueve en incrementos de 25 pb).

Ejemplo: Si el cambio esperado es 0.725%, entonces 0.725 ÷ 0.25 = 2.9

Paso 6: extraer probabilidades

Divide ese número en dos partes:

Característica: El número entero (en nuestro ejemplo: 2)
Mantisa: La parte decimal (en nuestro ejemplo: 0.9)

Luego:

Probabilidad de (característica × 25 pb) = 1 - mantisa = 1 - 0.9 = 0.1 o 10%
Probabilidad de ((característica + 1) × 25 pb) = mantisa = 0.9 o 90%

En este caso: 10% de probabilidad de subida de 50 pb, 90% de probabilidad de subida de 75 pb

Paso 7: expandir a la siguiente reunión

Repite todo el proceso para la siguiente reunión de la Fed, usando la tasa final de esta reunión como tu nuevo punto de partida.

Derivación matemática formal

La metodología de CME avanza en siete pasos sistemáticos para extraer probabilidades de precios de futuros. Formalicemos cada paso matemáticamente.

Paso 1: identificación de meses ancla

Defina el conjunto de fechas de reunión del FOMC:

$$\mathcal{M} = \{m_1, m_2, ..., m_8\} \subset \text{Year}$$

Un mes $t$ es un mes ancla si:

$$t \notin \{month(m_i) : m_i \in \mathcal{M}\}$$

Para meses ancla, la relación es directa:

$$\text{EFFR(Avg)}_t = 100 - \text{Futures Price}_t$$

Paso 2: aplicación de la restricción de continuidad

El supuesto de continuidad establece:

$$\text{EFFR(End)}_{t-1} = \text{EFFR(Start)}_{t+1}$$

Esto provee condiciones de frontera para resolver el sistema. Si el mes $t$ es ancla y $t+1$ contiene una reunión del FOMC:

$$\text{EFFR(Start)}_{t+1} = \text{EFFR(Avg)}_t = 100 - \text{Futures Price}_t$$

Paso 3: descomposición de tasa dentro del mes

Para un mes $t$ que contiene una reunión del FOMC en el día $d$ (con $n$ días totales), la tasa de liquidación del futuro representa el promedio ponderado por volumen:

$$\text{EFFR(Avg)}_t = \frac{d-1}{n} \cdot \text{EFFR(Start)}_t + \frac{n-d+1}{n} \cdot \text{EFFR(End)}_t$$

Despejando la tasa posterior a la reunión:

$$\text{EFFR(End)}_t = \frac{n \cdot \text{EFFR(Avg)}_t - (d-1) \cdot \text{EFFR(Start)}_t}{n-d+1}$$

Paso 4: extracción del cambio esperado de tasa

$$\Delta r_t = \text{EFFR(End)}_t - \text{EFFR(Start)}_t$$

Paso 5: normalización a unidades de 25 pb

$$x_t = \frac{\Delta r_t}{25 \text{ bp}} = \frac{\Delta r_t}{0.25}$$

Paso 6: descomposición de probabilidades

Exprese $x_t$ como suma de parte entera y parte fraccionaria:

$$x_t = \lfloor x_t \rfloor + \{x_t\}$$ $$\text{donde } \lfloor x_t \rfloor = \text{característica (parte entera)}$$ $$\{x_t\} = \text{mantisa (parte fraccionaria)}$$

Bajo el supuesto de ramificación binaria, las probabilidades neutrales al riesgo son:

$$P(\Delta r = \lfloor x_t \rfloor \times 25 \text{ bp}) = 1 - \{x_t\}$$ $$P(\Delta r = (\lfloor x_t \rfloor + 1) \times 25 \text{ bp}) = \{x_t\}$$

Paso 7: expansión del árbol vía recursión

Para la reunión $i+1$ posterior a la reunión $i$, aplique recursivamente el procedimiento usando:

$$\text{EFFR(Start)}_{i+1} = \text{EFFR(End)}_i$$

Las probabilidades acumuladas de trayectoria se multiplican a lo largo de las ramas:

$$P(\text{trayectoria a través de nodos } \{j_1, j_2, ..., j_k\}) = \prod_{i=1}^{k} P(\text{rama en nodo } j_i)$$

Reglas de propagación asimétrica

La metodología emplea propagación asimétrica para minimizar discontinuidades:

Hacia atrás: $\text{EFFR(Avg)}_t$ rellena $\text{EFFR(End)}_{t-1}$ indefinidamente hasta alcanzar otro ancla
Hacia adelante: $\text{EFFR(Avg)}_t$ rellena $\text{EFFR(Start)}_{t+1}$ solo un mes para evitar acumulación de error

Este diseño refleja que la propagación hacia atrás usa restricciones realizadas, mientras que la propagación hacia adelante amplificaría la incertidumbre de pronóstico.

Ejemplo resuelto: reunión del FOMC de septiembre de 2022

Resolvamos un ejemplo real para ver exactamente cómo funciona. Usaremos la reunión de la Fed del 21 de septiembre de 2022, un caso fascinante porque la Fed estaba subiendo tasas agresivamente para combatir la inflación.

Planteamiento

Lo que sabemos (al 21 de septiembre de 2022)

Septiembre tiene una reunión de la Fed el 21 de septiembre
Octubre NO tiene reunión de la Fed (¡es un mes ancla!)
Noviembre tiene una reunión de la Fed

Precios de futuros:

Contrato de septiembre (ZQU2): 97.4475
Contrato de octubre (ZQV2): 96.9400

Cálculo paso a paso

Paso 1: empezar por octubre (mes ancla)

Octubre no tiene reunión de la Fed, así que es simple:

Tasa promedio de octubre = 100 - 96.9400 = 3.0600%

Esta tasa se mantiene todo el mes, por lo tanto:

EFFR al final de septiembre = 3.0600%
EFFR al inicio de noviembre = 3.0600%

Paso 2: calcular la tasa inicial de septiembre

Septiembre tiene 30 días. La reunión de la Fed es el 21 de septiembre.

Días antes de la reunión: 21 - 1 = 20 días (contamos del día 1 al día 20)
Días después de la reunión: 30 - 21 + 1 = 10 días (del día 21 al día 30)

El precio del futuro de septiembre nos da el promedio: 100 - 97.4475 = 2.5525%

Ahora despejamos la tasa inicial. Sabemos que:

Tasa promedio = 2.5525%
Tasa final = 3.0600% (desde nuestro mes ancla)

Fórmula: Promedio = (Días antes × Tasa inicial + Días después × Tasa final) ÷ Total de días

Reordenando:
Tasa inicial = (Promedio × Total de días - Días después × Tasa final) ÷ Días antes
Tasa inicial = (2.5525 × 30 - 10 × 3.0600) ÷ 20
Tasa inicial = (76.575 - 30.600) ÷ 20
Tasa inicial = 45.975 ÷ 20 = 2.2988%

(Nota: CME obtuvo 2.3350% usando convenciones de conteo de días ligeramente distintas. ¡El principio es el mismo!)

Paso 3: calcular el cambio esperado

Cambio esperado = Tasa final - Tasa inicial

Cambio esperado = 3.0600 - 2.3350 = 0.7250% o 72.5 puntos básicos

Paso 4: convertir a unidades de 25 pb

72.5 ÷ 25 = 2.9

Dividimos esto en:

Característica (parte entera): 2
Mantisa (parte decimal): 0.9

Paso 5: extraer probabilidades

Probabilidad de (2 × 25 pb = subida de 50 pb) = 1 - 0.9 = 0.10 o 10%

Probabilidad de (3 × 25 pb = subida de 75 pb) = 0.9 = 0.90 o 90%

Resultado final

Probabilidades implícitas de mercado para la reunión del FOMC del 21 de septiembre de 2022:

10% de probabilidad de subida de 50 puntos básicos
90% de probabilidad de subida de 75 puntos básicos

Qué pasó en realidad: ¡La Fed subió 75 puntos básicos! El mercado acertó.

Ejemplo completo resuelto: decisión del FOMC del 21 de septiembre de 2022

Este ejemplo demuestra la metodología de CME usando datos reales de mercado de septiembre de 2022, durante el ciclo agresivo de subidas de la Reserva Federal para combatir la inflación.

Contexto de mercado

Fecha del análisis: 21 de septiembre de 2022

Calendario de reuniones del FOMC:

21 de septiembre de 2022 (día 21 del mes)
Octubre de 2022: sin reunión (mes ancla)
2 de noviembre de 2022

Precios de contratos de futuros:

ZQU2 (septiembre de 2022): 97.4475
ZQV2 (octubre de 2022): 96.9400
ZQX2 (noviembre de 2022): 96.4625

Cálculo: reunión FOMC de septiembre de 2022

Fase 1: establecer restricciones de ancla

Octubre de 2022 no contiene reunión del FOMC, por lo que se establece como mes ancla:

$$\text{EFFR(Avg)}_{\text{Oct}} = 100 - 96.9400 = 3.0600\%$$

Por continuidad:

$$\text{EFFR(End)}_{\text{Sept}} = \text{EFFR(Start)}_{\text{Nov}} = 3.0600\%$$

Fase 2: descomposición intra-mensual de septiembre

Parámetros de la reunión:

$d = 21$ (día de la reunión)
$n = 30$ (días en septiembre)
$N = d - 1 = 20$ (días antes de la reunión)
$M = n - d + 1 = 10$ (días incluyendo y después de la reunión)

Tasa promedio implícita:

$$\text{EFFR(Avg)}_{\text{Sept}} = 100 - 97.4475 = 2.5525\%$$

Despeje la tasa inicial usando la fórmula intra-mensual:

$$\text{EFFR(Start)}_{\text{Sept}} = \frac{n \cdot \text{EFFR(Avg)}_{\text{Sept}} - M \cdot \text{EFFR(End)}_{\text{Sept}}}{N}$$ $$= \frac{30 \times 2.5525 - 10 \times 3.0600}{20}$$ $$= \frac{76.575 - 30.600}{20} = \frac{45.975}{20} = 2.2988\%$$

Nota: el cálculo publicado por CME arroja 2.3350% debido a convenciones de conteo de días ligeramente distintas. El principio metodológico permanece idéntico.

Fase 3: cálculo del cambio de tasa

$$\Delta r_{\text{Sept}} = \text{EFFR(End)}_{\text{Sept}} - \text{EFFR(Start)}_{\text{Sept}}$$ $$= 3.0600 - 2.3350 = 0.7250\% = 72.5 \text{ puntos básicos}$$

Fase 4: extracción de probabilidades

Convierta a unidades de 25 pb:

$$x = \frac{72.5}{25} = 2.9$$

Descomponga en característica y mantisa:

$$\lfloor x \rfloor = 2 \quad (\text{característica})$$ $$\{x\} = 0.9 \quad (\text{mantisa})$$

Extraiga probabilidades binarias:

$$P(\Delta r = 50\text{bp}) = 1 - 0.9 = 0.10 = 10\%$$ $$P(\Delta r = 75\text{bp}) = 0.9 = 90\%$$

Extensión: reunión de noviembre de 2022

El árbol se expande hacia adelante repitiendo el proceso:

Punto de partida: $\text{EFFR(Start)}_{\text{Nov}} = 3.0600\%$

Siguiendo pasos idénticos (detalles omitidos por brevedad), la metodología de CME arrojó:

$$P(\Delta r_{\text{Nov}} = 50\text{bp}) = 81.0\%$$ $$P(\Delta r_{\text{Nov}} = 75\text{bp}) = 19.0\%$$

Probabilidades acumuladas de trayectoria

El árbol expansivo genera cuatro resultados acumulados posibles hacia noviembre:

Ruta	Movimiento sept.	Movimiento nov.	Acumulado	Probabilidad
1	+50pb	+50pb	+100pb	0.10 × 0.81 = 8.1%
2	+50pb	+75pb	+125pb	0.10 × 0.19 = 1.9%
3	+75pb	+50pb	+125pb	0.90 × 0.81 = 72.9%
4	+75pb	+75pb	+150pb	0.90 × 0.19 = 17.1%

Agregando por cambio acumulado:

$$P(\text{Total } +100\text{bp}) = 8.1\%$$ $$P(\text{Total } +125\text{bp}) = 1.9 + 72.9 = 74.8\%$$ $$P(\text{Total } +150\text{bp}) = 17.1\%$$

Resultados reales y validación

21 de septiembre de 2022: el FOMC subió tasas en 75 pb (probabilidad: 90%) ✓

2 de noviembre de 2022: el FOMC subió tasas en 75 pb (probabilidad condicional: 19% | Sept=75 pb)

La metodología identificó correctamente el resultado modal de septiembre, pero subestimó la probabilidad de subidas consecutivas de 75 pb, ilustrando que las probabilidades neutrales al riesgo derivadas de futuros pueden no coincidir perfectamente con frecuencias observadas.

Cómo se expande el árbol en múltiples reuniones

Una de las características más potentes del método de CME es que no solo predice una reunión, sino una secuencia completa de reuniones.

Visualizando el árbol expansivo

                Hoy (Tasa: 4.00%)
                     |
                [Reunión 1]
                /          \
          +25pb (70%)   Mantener (30%)
          /                  \
    Tasa: 4.25%           Tasa: 4.00%
        |                      |
   [Reunión 2]            [Reunión 2]
    /        \             /        \
+25pb (40%) Mantener (60%) +25pb (50%) Mantener (50%)
  /            \          /            \
  4.50%          4.25%     4.25%          4.00%

Probabilidades finales:
- Terminar en 4.50%: 70% × 40% = 28%
- Terminar en 4.25%: (70% × 60%) + (30% × 50%) = 42% + 15% = 57%
- Terminar en 4.00%: 30% × 50% = 15%

Como puedes ver, el árbol se "expande": cada reunión duplica el número de rutas posibles.

Por qué esto se complica rápido

Con cada reunión adicional de la Fed, las posibilidades se multiplican:

Después de 1 reunión: 2 tasas posibles
Después de 2 reuniones: 3 tasas posibles (pero 4 rutas para llegar)
Después de 3 reuniones: 4 tasas posibles (¡pero 8 rutas!)
Después de 8 reuniones: 9 tasas posibles (¡pero 256 rutas!)

Por eso las computadoras son esenciales: las matemáticas se vuelven complejas muy rápidamente.

Cómo maneja esto CME

La herramienta de CME avanza reunión por reunión, usando la tasa final de una reunión como la tasa inicial de la siguiente. Rastrea todas las rutas y sus probabilidades, y luego te muestra:

Probabilidades por reunión individual - ¿Qué pasará en la próxima reunión?
Probabilidades acumuladas - ¿Dónde estarán las tasas después de múltiples reuniones?
Trayectorias de tasa - ¿Cuáles son las secuencias de movimientos más probables?

Algoritmo formal de expansión del árbol

La estructura de árbol binario expansivo proporciona un marco sistemático para seguir distribuciones de probabilidad a través de múltiples decisiones de política secuenciales.

Estructura recursiva

Defina el espacio de estados en la reunión $t$:

$$\mathcal{S}_t = \{r_{t,1}, r_{t,2}, ..., r_{t,k_t}\}$$ donde $k_t$ = número de niveles de tasa distintos alcanzables en la reunión $t$

Para cada estado $r_{t,i} \in \mathcal{S}_t$ con probabilidad $P_t(r_{t,i})$, la ramificación binaria produce dos sucesores posibles:

$$r_{t+1,j} \in \{r_{t,i}, r_{t,i} + 25\text{bp}\} \quad \text{(régimen de subidas)}$$ $$\text{o}$$ $$r_{t+1,j} \in \{r_{t,i}, r_{t,i} - 25\text{bp}\} \quad \text{(régimen de recortes)}$$

Propagación de probabilidades

Sea $p_{t,i}^{\uparrow}$ la probabilidad de movimiento al alza desde el estado $r_{t,i}$. Las probabilidades de estado en $t+1$ se agregan desde múltiples rutas:

$$P_{t+1}(r) = \sum_{r_{t,i}: r \in \text{successors}(r_{t,i})} P_t(r_{t,i}) \cdot p_{t,i}(r_{t,i} \to r)$$

donde la probabilidad de transición $p_{t,i}(r_{t,i} \to r)$ es $p_{t,i}^{\uparrow}$ o $(1 - p_{t,i}^{\uparrow})$, según la rama.

Crecimiento combinatorio

La estructura de árbol exhibe una explosión combinatoria controlada:

$$|\mathcal{S}_t| = t + 1 \quad \text{(número de niveles de tasa distintos)}$$ $$\text{Número de rutas} = 2^t \quad \text{(crecimiento combinatorio)}$$

Sin embargo, muchas rutas convergen al mismo nivel terminal de tasa, reduciendo la complejidad de la agregación de probabilidades frente al seguimiento de todas las rutas de forma individual.

Representación matricial

La expansión del árbol puede representarse como un sistema de transición de estados. Defina el vector de probabilidades:

$$\mathbf{p}_t = [P_t(r_{t,1}), P_t(r_{t,2}), ..., P_t(r_{t,k_t})]^T$$

Y la matriz de transición $\mathbf{T}_t$, donde la entrada $T_{ij}$ da la probabilidad de transición del estado $i$ en la reunión $t$ al estado $j$ en la reunión $t+1$:

$$\mathbf{p}_{t+1} = \mathbf{T}_t \mathbf{p}_t$$

Esta formulación matricial permite cálculo eficiente de probabilidades hacia adelante y facilita análisis de sensibilidad.

Agregación de rutas convergentes

Múltiples rutas pueden llevar al mismo cambio acumulado de tasa. Por ejemplo, después de dos reuniones, un cambio acumulado de +50 pb puede surgir de:

Ruta 1: +25 pb y luego +25 pb
Ruta 2: +50 pb y luego 0 pb
Ruta 3: 0 pb y luego +50 pb

La probabilidad de terminar en la tasa objetivo se agrega sobre todas las rutas contribuyentes:

$$P_T(r_{\text{target}}) = \sum_{\text{todas las rutas } \pi \text{ a } r_{\text{target}}} \prod_{t \in \pi} p_t(\text{rama tomada en } t)$$

Complejidad computacional

Una enumeración ingenua de rutas requiere $O(2^T)$ operaciones para $T$ reuniones. Sin embargo, la programación dinámica reduce esto a $O(T^2)$ al agregar probabilidades en cada estado en lugar de rastrear rutas individuales:

\begin{align} \text{Inicializar: } & P_0(r_0) = 1 \\ \text{Para } t = 1 \text{ hasta } T: & \\ & \text{Para cada } r \in \mathcal{S}_t: \\ & \quad P_t(r) = \sum_{r' \in \text{predecessors}(r)} P_{t-1}(r') \cdot p_{t-1}(r' \to r) \end{align}

Esta eficiencia algorítmica permite cálculo en tiempo real incluso para horizontes de 8 reuniones o más.

Casos extremos y condiciones de frontera

Límite inferior cero: cuando la tasa se aproxima a cero, las ramas al alza continúan normalmente, pero las ramas a la baja se restringen:

$$\text{If } r_{t,i} < 25\text{bp, only successors are } \{0, r_{t,i} + 25\text{bp}\}$$

Reversiones de tasa: el supuesto binario descarta implícitamente reversiones inmediatas (subida seguida de recorte o viceversa) en el horizonte cercano. Esto refleja suavización conductual, pero puede subestimar riesgos de cola durante incertidumbre de política.

Incrementos no estándar: cuando los futuros implican movimientos mayores a 25 pb (característica ≥ 1), la estructura del árbol lo acomoda tratando movimientos mayores como ramas únicas en lugar de descomponerlos en múltiples pasos de 25 pb.

Limitaciones conocidas y cuándo el método deja de funcionar bien

Ningún método de pronóstico es perfecto, y el método de árbol expansivo de CME tiene limitaciones conocidas. Entenderlas te ayuda a saber cuándo confiar en las probabilidades y cuándo ser escéptico.

Cuándo funciona muy bien

Tiempos normales: cuando la economía está estable y la Fed hace ajustes graduales
Predicciones de corto plazo: las próximas 1-2 reuniones (dentro de 3-6 meses)
Movimientos estándar de 25 pb: cuando la Fed se mueve en incrementos tradicionales de un cuarto de punto
Consenso claro del mercado: cuando los traders coinciden en gran medida sobre lo que ocurrirá

Cuándo tiene dificultades

Problema 1: movimientos grandes o de emergencia

El método asume movimientos de 25 pb. Cuando la Fed hace 50 pb, 75 pb o recortes de emergencia, la estructura de árbol binario debe adaptarse. Puede manejarlo, pero es menos elegante.

Ejemplo: recortes de emergencia de marzo de 2020 durante COVID entre reuniones programadas

Problema 2: incertidumbre real de tres vías

El árbol binario dice que solo hay dos opciones realistas en cada reunión. Pero, ¿qué pasa si los mercados están divididos en tres escenarios?

Ejemplo: inicios de 2023, cuando los mercados debatían entre: recorte de 25 pb (30%), mantener (40%), subida de 25 pb (30%)

El método forzaría esto en dos categorías, distorsionando la distribución de probabilidad real.

Problema 3: sesgo por prima por riesgo

¿Recuerdas el supuesto 7? Los precios de futuros incluyen una "prima por riesgo": los traders pagan extra por cobertura. Esto significa que los precios de futuros no son predicciones puras; tienen un ligero sesgo.

La investigación muestra que este sesgo es de alrededor de 35-60 puntos básicos por año, y aumenta durante recesiones.

Problema 4: baja confiabilidad de largo plazo

Cuanto más lejano el horizonte, menos confiable se vuelve:

1-3 meses adelante: muy confiable
3-6 meses adelante: bastante bueno
6-12 meses adelante: cuestionable
12+ meses adelante: a menudo falla

Esto ocurre porque el mercado de futuros es menos líquido cuanto más largo es el plazo, y las condiciones económicas pueden cambiar drásticamente.

Conclusión

El método de árbol expansivo de CME es una herramienta excelente para entender expectativas de mercado de corto plazo en condiciones normales. Pero en crisis, cambios de régimen o para predicciones de largo plazo, debe combinarse con otros métodos como encuestas, modelos económicos o juicio experto.

Análisis sistemático de limitaciones metodológicas

Aunque la metodología de árbol expansivo de CME representa el estándar de la industria para extraer expectativas de política desde futuros, incorpora varias limitaciones estructurales que restringen su dominio de aplicabilidad.

Limitación 1: restricción de ramificación binaria

La restricción fundamental a dos resultados por nodo de reunión genera distorsiones sistemáticas cuando la masa de probabilidad real se distribuye entre tres o más escenarios.

Manifestación matemática: Considere una situación donde las probabilidades físicas son:

$$P^{\mathbb{P}}(-25\text{bp}) = 0.30, \quad P^{\mathbb{P}}(0\text{bp}) = 0.40, \quad P^{\mathbb{P}}(+25\text{bp}) = 0.30$$

El marco binario debe forzar este caso en dos categorías, dando como resultado:

$$P^{\mathbb{Q}}(\text{resultado}_1) = 1 - m, \quad P^{\mathbb{Q}}(\text{resultado}_2) = m$$

donde $m$ es la mantisa. Esto necesariamente representa mal la distribución real, y la magnitud de la distorsión es proporcional a la masa de probabilidad en el tercer resultado excluido.

Consecuencias:

Subestimación del riesgo de cola cuando las probabilidades están realmente distribuidas
Concentración artificial de masa de probabilidad en resultados modales
Incapacidad para representar incertidumbre simétrica (probabilidades iguales entre tres estados)

Limitación 2: contaminación por prima por riesgo

La metodología extrae probabilidades neutrales al riesgo ($\mathbb{Q}$), pero el pronóstico de política requiere probabilidades físicas ($\mathbb{P}$). La brecha entre ambas medidas deriva de primas por riesgo:

$$\text{Futures Price}_t = E^{\mathbb{Q}}_t[\text{Spot Rate}] = E^{\mathbb{P}}_t[\text{Spot Rate}] + \text{Risk Premium}_t$$

Magnitudes empíricas (Piazzesi & Swanson 2008):

Prima por riesgo promedio: 35-61 puntos básicos por año
Componente variable en el tiempo: contracíclico (más alto durante recesiones)
Predictibilidad: correlacionada con crecimiento del empleo, diferenciales de rendimiento y diferenciales corporativos

No ajustar por primas por riesgo sesga sistemáticamente las probabilidades:

$$P^{\mathbb{Q}}(\text{hike}) > P^{\mathbb{P}}(\text{hike}) \text{ during expansions}$$ $$P^{\mathbb{Q}}(\text{cut}) < P^{\mathbb{P}}(\text{cut}) \text{ during recessions}$$

Limitación 3: violaciones del supuesto de movimientos discretos

El supuesto de incrementos de 25 pb, aunque históricamente justificado, falla en períodos de crisis que requieren acción de política agresiva:

Episodio	Movimientos no estándar	Impacto metodológico
Recesión 2001-2002	Múltiples recortes de 50 pb	El árbol binario se adapta, pero pierde elegancia
Crisis financiera de 2008	Recorte de 100 pb (oct.), movimientos entre reuniones	Se viola el supuesto 5; probabilidades inestables
Crisis COVID de 2020	Recorte de emergencia de 150 pb (marzo)	Extremadamente no estándar; el pronóstico basado en futuros falla
Lucha contra la inflación 2022-2023	Cuatro subidas consecutivas de 75 pb	La estructura de árbol lo acomoda, pero subestima movimientos grandes consecutivos

Limitación 4: confiabilidad dependiente del horizonte

El desempeño del pronóstico se deteriora sistemáticamente con el horizonte:

$$\text{Forecast Accuracy}(h) = \alpha - \beta \cdot h + \epsilon$$ $$\text{donde } h = \text{horizonte en meses}$$

Factores del deterioro por horizonte:

Caída de liquidez: los diferenciales bid-ask se amplían en contratos de mayor plazo, reduciendo la eficiencia informacional
Incertidumbre macroeconómica: la varianza condicional del pronóstico crece con el horizonte a medida que se realizan más shocks
Riesgo de régimen de política: horizontes más largos aumentan la probabilidad de quiebres estructurales en la función de reacción de política
Confusión con prima por plazo: contratos largos incorporan expectativas y primas por plazo en proporciones complejas y variables en el tiempo

Desempeño comparativo por horizonte (Gürkaynak et al. 2007):

1-3 meses: futuros de fondos federales óptimos, superan encuestas y modelos
3-6 meses: futuros de fondos federales competitivos con la encuesta a Primary Dealers
6-12 meses: en general, encuestas superan; los modelos aportan información complementaria
12+ meses: se prefieren encuestas y modelos estructurales; futuros poco confiables

Limitación 5: sin sesgo de statu quo ni aprendizaje

La metodología base de CME trata todos los cambios de tasa de forma simétrica e independiente. No modela:

Gradualismo del banco central: preferencia empíricamente documentada por continuidad de política (Rudebusch 2002)
Dependencia de trayectoria: correlación secuencial en decisiones de política (probabilidad de segunda subida dado primer aumento)
Efectos de comunicación: impacto de la orientación prospectiva sobre probabilidades de decisión
Dependencia de datos: actualizaciones de probabilidad condicional según indicadores económicos observados

Estas características conductuales e institucionales pueden incorporarse mediante marcos mejorados (como se discute en nuestra metodología), pero están ausentes en la implementación base de CME.

Implicaciones prácticas para usuarios

Mejores prácticas recomendadas:

Uso acorde al horizonte: use probabilidades CME para pronósticos de 1-3 meses; combine con encuestas en horizontes más largos
Conciencia de régimen: actúe con cautela en crisis, transiciones de política o cuando aumente la probabilidad de movimientos entre reuniones
Validación cruzada: compare probabilidades implícitas en futuros con medidas basadas en OIS, encuestas y pronósticos de economistas
Ajuste por prima por riesgo: para pronóstico de política (vs. medición de percepciones de mercado), ajuste por primas documentadas usando modelos de empleo/diferenciales
Cuantificación de incertidumbre: reporte rangos de probabilidad en lugar de estimaciones puntuales; reconozca limitaciones del modelo

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